概率论知识总结(一):一些基本概念

简介

这个系列主要是用来记录一些概率论的基础知识以及常用的公式定理。我会不定期更新这一系列,希望能够大家有帮助(^▽^)。

样本空间与随机事件

样本空间

随机随机实验的所有基本结果组成的集合。记为Ω。样本空间的元素称为基本点。

古典概型

公式:

$$P(A)=\frac{事件A中所含的样本点数}{Ω所含样本点数}$$

性质:

0 < P(A) < 1
P(Ω) = 1
P( $\begin{equation}\cup_{n=1}^{\infty} A_{n}\end{equation}$) = $\begin{equation}\sum_{n=1}^{\infty} P(A_{n})\end{equation}$

排列公式:

$$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}(n \geq m )$$
注意:0! = 1

组合公式

$$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}(n \geq m )$$
$$C_n^m = C_n^{n-m}$$

一般事件运算法则

基本概念:

  • 若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件A包含于事件B,记为 A $\subset$ B
  • 事件A与B中至少有一个发生,称为A与B的并(和),记为 A∪B
  • 事件A与B同时发生,称为A与B的交(积),记为A∩B(或AB)
  • 事件A发生而事件B不发生,称为A与B的差,记为A-B
  • 事件A与事件B不可能同时发生,称为事件A与事件B互不相容(互斥),记为A∩B=∅
  • 若A∪B=Ω且A∩B=∅,则称事件A与事件B互为逆事件(对立事件) ,记A的对立事件为$\bar{A}$,且$\bar{A}$ = Ω - A。

对于一般事件,其运算满足以下关系:

  • 交换律

A∪B=B∪A,A∩B = B∩A

  • 结合律

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

  • 分配律

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

  • A - B = $A\bar{B}$ = A - AB

概率的加法法则

定理1:设A、B是互不相容(互斥)事件(AB=φ),则:

P(A∪B)= P(A)+ P(B)
P(φ)= 0
P(A)=1-P($\bar{A}$)
若B $\supset$ A:P(B-A)=P(B)-P(A)

广义加法公式:
对于任意两个事件A与B,有:

P(A∪B)= P(A)+ P(B)- P(AB)

条件概率与乘法法则

在B事件已发生的条件下,事件A发生的概率:

P( A | B ) = $\frac{P(AB)}{P(B)}$

P( A | B ) 满足以下定理:

  1. 对于任一事件A,有$P( A | B ) \geq 0$
  2. P(Ω | B) = 1
  3. P($\begin{equation}\cup_{i=1}^{\infty} A_{i}\end{equation}$ | B) = $\begin{equation}\sum_{i=1}^{\infty} P(A_{i} | B)\end{equation}$ ($A_1,A_2,...,A_n$为两两互不相容事件)
  4. P($\bar{A}$ | B) = 1 - P(A | B)

乘法定理
若P(A) > 0,则有:

P(AB) = P(A) · P(B | A)

若P(B) > 0,则有:

P(AB) = P(B) · P(A | B)

若P(AB) > 0,P(A) > 0;则有:

P(ABC) = P(C | AB) · P(AB) = P(C | AB) · P(A) · P(B | A)

全概率公式

设事件B为样本空间Ω的任一事件,事件$A_1,A_2,...,A_n$为Ω的一个划分,且P($A_i$) > 0 ( $i$ = 1,2,..,n),则有:

$P(B)$ = $P(A_1) · P(B|A_1)$ + $P(A_2) · P(B|A_2) $ + ... + $P(A_1n) · P(B|A_n)$ = $\begin{equation}\sum_{i=1}^{n} P(A_i) · P(B| A_i)\end{equation}$

贝叶斯公式

设样本空间为Ω,B为Ω的事件,$A_1,A_2,...,A_n$为Ω的一个划分,且P(B) > 0,P($A_i$) > 0 , ($i$= 1.2,...,n),则有:

P($A_i$ | B) = $\frac{P(Ai)·P(B|A_i)}{\begin{equation}\sum_{j=1}^{n} P(A_j) · P(B| A_j)\end{equation}} (i =1,2,...,n)$

例题

某批零件来自三个工厂,且各厂零件数量之比为1:2:3,各厂生产零件的次品率为0.3,0.4,0.5。现随机抽取一个零件。
(1). 求第一次抽到的零件是次品的概率。
(2).求已知第一次抽到的零件是次品,且是一厂生产的概率。

解:设A = {第一次抽到的零件是次品},$B_i$ = {第一次抽到的零件是$i$厂生产的},($i$ = 1,2,3)
P($B_1$) = 1/6 , P(A|$B_1$) = 0.3
P($B_2$) = 1/3 , P(A|$B_2$) = 0.4
P($B_3$) = 1/2 , P(A|$B_3$) = 0.5
(1).由全概率公式得:
P(A) = $\begin{equation}\sum_{i=1}^{3} P(B_i) · P(A | B_i)\end{equation}$ = P($B_1$) · P(A|$B_1$) + P($B_2$) · P(A|$B_2$) + P($B_3$) · P(A|$B_3$) = 0.43
(2).由贝叶斯公式得:
P($A_1$ | $B$) = $\frac{P(B_1)·P(A|B_1)}{\begin{equation}\sum_{j=1}^{3} P(B_j) · P(A| B_j)\end{equation}} = 0.115$

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 最后一次更新于2019-01-09

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