概率论知识总结(二):一维随机变量及其常见分布

什么是随机变量

随机变量的定义

设实验的样本空间为Ω,如果对Ω着每一个元素e,有一个实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数X=X(e),称之为随机变量

分类
随机变量按取值特点通常分为离散型随机变量连续型随机变量两大类。

什么是分布函数

定义

设X是随机变量,x为任意实数,函数$F(x) = P\{ X \leq x \}$ 称为X的分布函数。

对于任意实数,$x_1,x_2 (x_1 < x_2)$,有:

$P\{x_1 \leq X \leq x_2\} = P\{X \leq x_2\} - P\{X \leq x_1\} $ $ = F(x_2) - F(x_1)$

分布函数性质
基本性质如下:

  1. 分布函数是单调不减函数

对于任意实数$x_1,x_2 (x_1 < x_2)$,有:
$F(x_2) - F(x_1) = P\{ x_1 < X \leq x_2\} \geq 0$

  1. $ 0 \leq F(x) \leq 1$,且

$\lim\limits_{x \to + \infty }{F(x)} = 1$,记为F(+∞) = 1;
$\lim\limits_{x \to - \infty }{F(x)} = 0$,记为F(-∞) = 0;

  1. $F(x+0)=F(x)$,即F(x)为右连续。

离散型随机变量及其分布

定义

若随机变量所有可能的取值为有限个或可数无穷多个,则称这种随机变量为离散型随机变量

性质

  1. 非负性

$p_k \geq 0, k = 1,2,...;$

  1. 归一性

$\begin{equation*}\sum_{k=1}^∞p_k \end{equation*} = 1$

分布

  1. 两点分布

$X = X(e) = \begin{cases} 0& {当e = e_1时}\\ 1& {当e = e_2时} \end{cases}$

  1. 二项分布:X~B(n,p)

$P\{X = k\} = C_{n}^{k} p^k(1-p)^{n - k}, k=0,1,...,n,$

  1. 泊松分布:X~P($\lambda$)

$P\{X=k\} = \frac{\lambda^ke^k}{k!} , k = 0,1,2,...,$
$\begin{equation*}\sum_{k=0}^∞p\{X = k\} \end{equation*} = 1$

连续型随机变量及其分布

定义

若对随机变量X的分布函数$F(x)$,存在非负函数$f(x)$,使对于任意实数$x$,有
$$F(x)=\int_{-∞}^{x} f(t)dt$$
则称X为连续型随机变量,$f(x)$称为X的概率密度函数(概率密度密度函数)

性质

  1. $f(x) \geq 0$
  2. $F(x)=\int_{-∞}^{+∞} f(x)dx = 1$ (重要)
  3. $P\{x_1 < X \leq x_2\} = F(x_2) - F(x_1) $

     $ = F(x)=\int_{x_1}^{x_2} f(x)dx  (x_1 \leq x_2)$
  4. 若$f(x)$在x点处连续,则有$F'(x)=f(x)$

常见分布

  1. 均匀分布:X~U(a,b)

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & {a<x<b}\\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

  1. 指数分布:X~E($\lambda$)

$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & {x>0}\\ 0 & {x \leq 0} \end{cases}$

  1. 正态分布:X~N($\mu,\sigma^2$)

$\frac{X - \mu}{\sigma}$~$~N(0,1)$
$$f(x) = \frac{e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}}{\sqrt{2π} \sigma}, -∞ < x < +∞$$

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 最后一次更新于2019-01-09

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