概率论知识总结(三):二维随机变量及其常见分布
二维随机变量
定义
设E是一个随机试验，它的样本空间Ω={e},设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量，则称(X(e),Y(e))为Ω上的两个随机变量或二维随机变量，简记为(X,Y)。
二维随机变量分布函数
定义
设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x和y，称二元函数$F(x,y) = P\{X \leq x,Y \leq y\}$为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X,Y的联合分布函数。
性质
- F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任意固定的y，当$x_2 > x_1$时,$F(x_2,y) \geq F(x_1,y)$；对于任意固定的x，当$y_2 > y_1$时，$F(x,y_2) \geq F(x,y_1)$。
- $0 \leq F(x,y) \leq 1$,且对于任意固定的y，$F(-∞,y)=0$，对于任意固定的x，$F(x,-∞)=0$，$F(-∞,-∞)=0$，$F(+∞,+∞)=0$。
- $F(x)$关于x和y是右连续，即
$F(x,y)=F(x+0,y)$，$F(x,y) = F(x,y+0)$
- 对于任意$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$，$x_1 < x_2$，$y_1 < y_2$，下述不等式成立:
$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) \geq 0$
二维随机变量的两种常见类型；离散型和连续型
二维离散型随机变量
定义
若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可数无穷多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。
性质
- 非负性:$P_{ij} \geq 0 ,(i,j=1,2,..);$
- 规范性:$\sum_{i,j}P_{ij} = 1.$
离散型碎甲变量X,Y的联合分布函数为
$F(x,y)=P\{X \leq x,Y \leq y\} = \sum_{x_i \leq x} \sum_{y_j \leq y}P_{ij} $
二维连续型随机变量
定义
设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如何存在一个非负可积函数$f(x,y)$，使得对任意实数x,y有
$F(x,y)=P\{X \leq x,Y \leq y\} = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(u,v)dudv$ (重要)
性质
- $f(x,y) \geq 0 (-∞ < x, y < +∞)$
- $\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(u,v)dudv = 1$(重要)
- 若$f(x,y)$在点$(x,y)$处连续，则有
$\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y} = f(x,y)$
- 设G为$xOy$平面上的任一区域，随机点(X,Y)落在G内的概率为
$P\{(X,Y) \epsilon G\}= \iint_{G}f(x,y)dxdy$
分布
- 均匀分布
$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{A}& {(x,y)∈G}\\ 0& {其他} \end{cases}$
G是平面上的有界区域，其面积为A。
2.边缘分布
设(X,Y)是二维随机型变量，其概率密度为$f(x,y)$
$F_X(x) = F(x,+∞) = \int_{-∞}^{x}[\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy]dx$
若已知X是连续型随机变量，且其概率密度为
$f_X(x)= \frac{dF_X(x)}{dx} = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy$
若已知Y是连续型随机变量，且其概率密度为
$f_Y(y)= \frac{dF_Y(y)}{dy} = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx$
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