概率论知识总结(三):二维随机变量及其常见分布

概率论知识总结(三):二维随机变量及其常见分布

二维随机变量

定义

设E是一个随机试验,它的样本空间Ω={e},设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的两个随机变量二维随机变量,简记为(X,Y)

二维随机变量分布函数

定义

设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x和y,称二元函数$F(x,y) = P\{X \leq x,Y \leq y\}$为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X,Y的联合分布函数

性质

  1. F(x,y)是变量x和y的不减函数,即对于任意固定的y,当$x_2 > x_1$时,$F(x_2,y) \geq F(x_1,y)$;对于任意固定的x,当$y_2 > y_1$时,$F(x,y_2) \geq F(x,y_1)$。
  2. $0 \leq F(x,y) \leq 1$,且对于任意固定的y,$F(-∞,y)=0$,对于任意固定的x,$F(x,-∞)=0$,$F(-∞,-∞)=0$,$F(+∞,+∞)=0$。
  3. $F(x)$关于x和y是右连续,即

$F(x,y)=F(x+0,y)$,$F(x,y) = F(x,y+0)$

  1. 对于任意$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$x_1 < x_2$,$y_1 < y_2$,下述不等式成立:

$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) \geq 0$

二维随机变量的两种常见类型;离散型连续型

二维离散型随机变量

定义

若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对可数无穷多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量

性质

  1. 非负性:$P_{ij} \geq 0 ,(i,j=1,2,..);$
  2. 规范性:$\sum_{i,j}P_{ij} = 1.$

离散型碎甲变量X,Y的联合分布函数为

$F(x,y)=P\{X \leq x,Y \leq y\} = \sum_{x_i \leq x} \sum_{y_j \leq y}P_{ij} $

二维连续型随机变量

定义

设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),如何存在一个非负可积函数$f(x,y)$,使得对任意实数x,y有
$F(x,y)=P\{X \leq x,Y \leq y\} = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(u,v)dudv$ (重要)

性质

  1. $f(x,y) \geq 0 (-∞ < x, y < +∞)$
  2. $\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(u,v)dudv = 1$(重要)
  3. 若$f(x,y)$在点$(x,y)$处连续,则有

$\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y} = f(x,y)$

  1. 设G为$xOy$平面上的任一区域,随机点(X,Y)落在G内的概率为

$P\{(X,Y) \epsilon G\}= \iint_{G}f(x,y)dxdy$

分布

  1. 均匀分布

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{A}& {(x,y)∈G}\\ 0& {其他} \end{cases}$
G是平面上的有界区域,其面积A

2.边缘分布
设(X,Y)是二维随机型变量,其概率密度为$f(x,y)$

$F_X(x) = F(x,+∞) = \int_{-∞}^{x}[\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy]dx$

若已知X是连续型随机变量,且其概率密度为

$f_X(x)= \frac{dF_X(x)}{dx} = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy$

若已知Y是连续型随机变量,且其概率密度为

$f_Y(y)= \frac{dF_Y(y)}{dy} = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx$

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 最后一次更新于2019-01-11

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